확률과 확률변수 - 확률의 정의 / 조건부확률 / 독립과종속 / 베이즈정리 / 확률변수 / 이산확률변수 / 연속확률변수 / 기대값 / 분산과 표준편차 / 공분산과 상관계수

 

 

확률과 확률변수 : 확률 정의

1. 표본공간(S) : 랜덤한 현상의 모든 가능한 결과의 집합

2. 사건(event) : 표본공간의 부분집합

• 합사상 A∪B
• 곱사상 A ∩ B
• 여사상 Ac
• 배반사상 A ∩ B=∅

3. Flipping Coin Twice

• 표본공간 S : {HH, HT, TH, TT}
• 사건 A : 동전을 두 번 던지는 시행에서 동전의 앞면이 1번만 A = {HT, TH}

 

 

4. 확률의 고전적 정의 : 가능한 결과가 N가지이고, 각 결과가 나타날 가능성이 모두 같을 때, 사건 A에 속하는 결과가 m개라면 A의 확률

 

5. 경험적 정의(상대도수)

 

6. 확률의 공리적 정의 : 표본공간 S에서의 임의의 사상 A에 대하여,

• 0 <= P(A) <= 1
• P(S) = 1
• 서로 배반인 사상들에 대하여

이 때, P(A)를 사상 A의 확률이라고 함

 

 

7. 확률의 성질

• P( A∪B ) = P(A) + P(B) - P( A ∩ B )
• P( Ac ) = 1 - P(A)
• An이 서로 배반사상일때

• A ⊂ B 이면 P(A) <= P(B)

 

 

조건부확률

한 사건이 일어날 것을 전제로 다른 사건이 일어날 확률

(변화된 표본공간에서의 사건 발생 확률)

• B가 일어났을 때 A가 일어날 확률
• A가 일어났을 때 B가 일어날 확률

 

 

독립과 종속

1. 독립사건 : 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 주지 않음

• 사건 A와 사건 B가 독립이면,

- P( A ∩ B ) = P(A)P(B) 

- P(A | B) = P(A)

- P(B | A) = P(B)

 

2. 종속사건 : 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 줌

P( A ∩ B ) = P(A | B) P(B) = P(B | A) P(A)

 

 

베이즈 정리

사건 A1, ... , An이 표본공간 S의 분할이고 P(A) > 0, P(B) > 0 일 때,

• P(Ak)는 원인의 가능성 : 사전확률
• P(B | Ak)는 원인 Ak의 결과로서 B가 관측될 확률
• P(Ak | B)는 B가 관측된 후에 원인 Ak의 가능성 : 사후확률
• 사전확률을 사후확률로 전환할 수 있음

 

 

확률변수

1. 확률변수

• 표본공간에서 정의된 실수값 함수
• 실수가 아니면 확률분포함수 정의할 수 없음
• 일정 확률을 가지고 발생하는 사건에 수치를 부여한 것
• 변수가 어떤 값을 취하는지가 확률적으로 결정된다 - 통계적 규칙성은 있다고 봄

2. 확률분포

• 확률변수의 값과 확률을 대응시켜 표, 그래프, 함수로 표현한 것

 

 

이산/연속확률변수

1. 이산확률변수

• 이산표본공간에서 정의된 확률변수의 값이 유한 혹은 countably infinite
• 확률질량함수 : 이산확률변수 X의 값 x1, ... , xn의 각 확률을 대응

2. 연속확률변수

• 특정 구간 내의 모든 값을 취하는 확률변수
• 확률변수의 값이 무한개이며 셀 수 없음
• 확률밀도함수 : 확률변수 X가 어떤 구간 [l , u]의 모든 값을 취하고 이 구간에서의 함수 f(x)

 

 

기대값

1. 기대값(expected value)

• 확률변수의 모든 값의 평균
• 이산확률변수 : 확률변수의 값이 x1, ... 이고 X = xi일 확률이 f(xi)일 때,

• 연속확률변수 : 확률변수 X가 [l, u] 구간의 모든 값을 취하고 X의 확률밀도함수가 f(x)일 때,

 

 

기대값의 성질

1. 기대값의 성질(a, b는 상수이고 X, Y는 확률변수)

 

 

분산과 표준편차

1. 분산

• 이산확률변수

• 연속확률변수

 

2. 표준편차

 

 

분산과 표준편차의 성질

1. 분산과 표준편차의 연산

 

 

공분산과 상관계수

 

 

1. 공분산과 상관계수의 성질

 

2. 두 확률변수 합의 분산

 

 

 

 

 

강의는 통계수학 기초에 관한 내용을 다루고 있으며, 강의를 복습하기 위해 블로그에 다시 한 번 요약정리 하고 있다.

강의에서는 더욱 자세한 내용 설명과 예제를 통한 수학적 증명을 설명해주고 있으니, 통계수학에 대한 공부를 하고 싶은 사람은 꼭 이 강의를 수강하길 강추한다.

 

공부내용 : 

https://www.metacodes.co.kr/edu/read2.nx?M2_IDX=30098&page=1&sc_is_discount=&sc_is_new=&EP_IDX=8382&EM_IDX=8208 

 

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