두 모집단 비교 - 두 모집단 비교 / 두 모평균 비교 / 대응비교 / 두 모비율 비교 / 두 모분산 비교

 

 

두 모집단 비교

1. 두 집단의 비교

- 모평균 비교, 모비율 비교, 모분산 비교 등

- 두 집단의 비교에는 분산이 고려되어야 함

• 분산이 고려되어야 보다 객관적인 비교가 가능

 

2. 두 모평균의 비교

- 두 모평균 비교

• 모분산 Known & 정규모집단
• 모분산 Unknown & 정규모집단 => 모분산 같음 or 모분산 다름

- 짝을 이룬 표본 비교

 

 

두 모집단 비교 - 모평균

1. 두 모평균 차이 추론 : 모분산 known

X1, ... , Xn과 Y1, ... ,Yn이 각각 N( μ1, σ1² ), N( μ2, σ2² )을 따르고 서로 독립

- 우리의 관심 대상은 두 모평균의 차이(= μ1 - μ2 )

- 추정량 : x̄ - y̅

- 검정통계량

 

 

2. 두 모평균 차이 추론 : 소표본, 모분산 unknown, 등분산

X1, ... , Xn과 Y1, ... ,Yn이 각각 N( μ1, σ² ), N( μ2, σ² )을 따르고 서로 독립

이를, 합동분산으로 정리하면,

 

등분산 σ² 합동분산의 추정량

 

 

이어서,

 

Z ~ N(0, 1),  V ~ X²(k),  Z와 V는 서로 독립

 

검정통계량

 

 

3. 두 모평균 차이 추론 : 소표본, 모분산 unknown, 이분산

검정통계량

=> 근사적으로 t분포

 

자유도 : Satterthwaite 자유도

개인첨언 : 두 개 이상의 모집단의 분산이 다를때, 분산분석이나 t-검정을 수행할 때 사용되는 수정된 자유도. 주로 Welch's t-검정에서 활용되며, 이는 두 집단의 분산이 동일하다고 가정할 수 없을 때 사용하는 t-검정

기본적으로 t-검정의 자유도는 표본크기에 의해 결정되지만, Satterthwaite 접근법은 두 표본의 분산과 표본크기를 고려하여 자유도를 조정. 이는 분산의 불균형으로 인해 발생할 수 있는 오류를 줄여줌. 이 방식으로 계산된 자유도는 일반적인 자유도보다 작아지며, 이는 t-분포의 꼬리를 더 두껍게 만들어 결과를 보다 보수적으로 평가할 수 있도록 함.

 

 

4. 두 모평균 차이 추론 : 표본 크기가 크다면

- 모평균의 차( μ1 - μ2 )의 100(1 - α)% 신뢰구간

 

- 귀무가설 H0 : μ1 - μ2 = δ을 검정하기 위한 검정통계량

 

 

두 모집단 비교 - 대응비교

1. 짝을 이룬 표본의 차이

• 같은 개체에 대해 실험 전/후 측정 값의 차이를 추론
• 두 집단 독립 X
• 대응표본 : 서로 독립 X, 비슷한 성질의 표본
• 대응비교 : 대응표본을 사용하여 두 모집단의 평균을 비교

2. 모평균의 차( μ1 - μ2 = δ )에 관한 추론

대응비교 Di = Xi - Yi, 서로 독립(D1, ... , Dn간)이고 Di ~ N( δ , σD² ) 가정

 

δ  = μ1 - μ2에 대한 100(1 - α)% 신뢰구간

 

 

귀무가설 H0 : μ1 - μ2를 검정하기 위한 검정통계량

 

 

두 모집단 비교 - 모비율

1. 두 모집단의 비율 비교

- 두 독립 표본으로부터의 비율 p̂1과 p̂2

- 표본비율의 평균과 분산

 

2. 표본의 크기가 큰 경우

 

 

3. p1 - p2 신뢰구간(표본 크기 큰 경우)

 

4. 표본의 크기가 큰 경우

H0 : p1 = p2(= p)

H0 하에서

E( p̂1 - p̂2 ) = 0,   Var( p̂1 - p̂2 ) = p(1 - p)(1/n1 + 1/n2)

 

공통 모비율 p의 합동추정량

 

H0 : p1 = p2

검정통계량

 

 

두 모집단 비교 - 모분산

1. 두 모집단의 분산 비교

- 두 집단의 분산의 차이는 두 집단의 평균 차이 검정에  영향을 줌

- 분산의 동일성 검정

• 여러 모집단에 대한 분산의 동일성 여부를 검정
• 분산의 동일성 검정은 ANOVA분석의 기본 가정
• 등분산 가정이 성립해야 유의미한 분석 가능

2. 두 모분산 비교의 가정

X1, ... , Xn과 Y1, ... , Yn이 각각 N(μ1, σ²), N(μ2, σ²)을 따르고 서로 독립 (정규분포 아닐 경우 Levene's Test 사용)

 

3. 귀무가설

 

 

이어서,

 

검정통계량

 

가설검정

 

신뢰구간

 

 

4. F분포

F-분포는 두 정규모집단의 분산을 비교하는 추론에 사용

V1과 V2는 각각 자유도 k1, k2인 카이제곱분포를 따르는 독립인 확률변수

 

 

 

 

 

강의는 통계수학 기초에 관한 내용을 다루고 있으며, 강의를 복습하기 위해 블로그에 다시 한 번 요약정리 하고 있다. 강의에서는 더욱 자세한 내용 설명과 예제를 통한 수학적 증명을 설명해주고 있으니, 통계수학에 대한 공부를 하고 싶은 사람은 꼭 이 강의를 수강하길 강추한다.



공부내용 :

https://www.metacodes.co.kr/edu/read2.nx?M2_IDX=30098&page=1&sc_is_discount=&sc_is_new=&EP_IDX=8382&EM_IDX=8208

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